「CSP2019 校内6连测」Day2_Tree

一道趣题。

校内6连测Day2

Tree

原题

面向数据编程:

subtask1

由于题目没有给定根,所以第一个想法就是枚举根,然后在每个点检查子树是否包含每一个颜色,更新答案。
具体可以状压啊,(暴力统计也能过),需要注意的是状态压缩时,设置状态中1 << 50这样的语句时不可以的。(应该为1LL << 50);
### subtask2 只有一种颜色,找一个最长的链即可,就是树的直径。 ### subtask3 发现要是想要AC这道题,枚举根肯定是没前途的,除非可以确定一个根,然后直接\(O(1)\)猜答案。

先随便找一个点作为临时的根,然后对于我们枚举到的一个点,我们考虑它作为 LCA的时候的最优答案,显然真正的根有两种情况: - 在当前点为根的子树中。 - 不在他的子树内。 对于这几种情况,我们都算一个最远的那个点离他多远,把最远的那个合法的点作为根就可以。

比如, 右边这个图,当真正的根是 6,当前点是3的时候,我们就需要知道,他的子树的点集 T={1,2,3,5,9,8}这个集合里面是否包含了每种颜色的点。

这是正解的弱化版本,树形DPf[i][j]表示在树上结点i,颜色j的数量。

那么我们就可以用 f[1]-f[4]算得 T 中包含的每种颜色的点的个数。 我们对于每个点,枚举根在哪个方向, 算这个方向上最远的点, 复杂度是 \(O(n)\)的。

\(f[i][j]\)的总复杂度是 \(O(nm)\)的, 枚举根方向再算合不合法,复杂度也是 \(O(nm)\)。所以总复杂度是 \(O(nm)\).

subtask4

归纳上一个subtask3发现其实对于每一个点,只需要知道两个信息即可: - 这个点为根的子树是否包含所有的颜色 - 整棵树抛去这个点为根的子树是否包含所有的颜色(称之为这个点为根的子树的反树)

还是先选一个临时的根,分开考虑两种情况 - 到一个点之后判断 以 这个点为根的子树是否包含所有的颜色。设以某个点\(i\)为根的子树所包含的元素种类数为\(W_i\)
考虑一个点对这个点到根这条链上的贡献,每个点都会使得这个点到根这条链上的点所有点\(j\)\(W_j + 1\)。 但是考虑两个相同颜色的点,对答案贡献之后,会使这两个点的LCA到根这条路径上的点都被加重复了一次。所以这条路径上的点都需要再\(-1\)
树上的路径操作——树上差分即可完成。注意,需要对同一种颜色的点按照DFS序排序,然后两两求LCA可以发现,只有这样做才是对的。
对这个树进行差分,然后能在DFS的过程中求得每个点为根的子树中的颜色种类数量。如果颜色种类数量为\(m\)那就说明这个子树已经包含了所有的颜色,那么这个点就是题目要求的LCA之一,然后用向上最长链(可以预处理出来,其实不是向上的最长链,只要这条链的终点不在当前子树中即可,也就是选取这个链的终点当作真正的根)更新答案。 - 如何判断一个点为根的的子树的反树包含了所有的点。其实可以反过来想,一个反树包含所有的颜色,也就是某一种颜色并没有被当前子树全部包含。求出每种颜色全部点的LCA。显然,选取的能够更新答案的点不是这些LCA的祖先。 预处理每一个种颜色所有点的LCA,然后进行在那个点打标记。最后dfs上传标记即可,设当前点为\(now\),儿子结点为\(to\),那么标记数组\(f[i]\)就等于\(f[now] |= f[to]\)。 最后检查每一个没被打过标记的点,用向下最长链(可以预处理,也就是这个点往下和一个最深的叶子结点的距离,也就是选取这个最深的叶子结点当真正的根)更新答案。

这两种情况更新完答案就做完了

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define _R register 
using namespace std;
const int _N = 1e6 + 100;
const int _M = 2e6 + 100;
inline int read()
{
    char c = getchar(); int sign = 1; int x = 0;
    while(c > '9' || c < '0') { if(c=='-')sign = -1; c = getchar(); }
    while(c <= '9' && c >= '0') { x *= 10; x += c - '0'; c = getchar(); }
    return x * sign;
}
int head[_N];
struct edges{
	int node;
	int nxt;
}edge[_M];
int tot = 0;
void add(int u, int v){
	edge[++tot].nxt = head[u];
	head[u] = tot;
	edge[tot].node = v;
}
int n, m;
int col[_N];
int root;
int MaxDeep[_N];
int MaxUp[_N]; 
void dfs1(int now, int fa){
	int Maxdp = -1;
	for(_R int i = head[now];i;i = edge[i].nxt){
		int to = edge[i].node;
		if(to == fa) continue;
		dfs1(to, now);
		Maxdp = max(Maxdp, MaxDeep[to]);
	}
	MaxDeep[now] = Maxdp + 1;
}
void dfs2(int now, int fa)
{
	int MaxVal1 = -1;int MaxNode1;
	int MaxVal2 = -1;int MaxNode2;
	for(_R int i = head[now];i;i = edge[i].nxt){
		int to = edge[i].node;
		if(to == fa) continue;
		if(MaxVal1 < MaxDeep[to]) {
			MaxVal2 = MaxVal1;MaxNode2 = MaxNode1;
			MaxVal1 = MaxDeep[to];MaxNode1 = to;
		} else MaxVal2 = max(MaxVal2, MaxDeep[to]);
	}
	for(_R int i = head[now];i;i = edge[i].nxt){
		int to = edge[i].node;
		if(to == fa) continue;
		MaxUp[to] = max((MaxDeep[to] == MaxVal1 ? MaxVal2 + 2 : MaxVal1 + 2), MaxUp[now] + 1);
	}
	for(_R int i = head[now];i;i = edge[i].nxt){
		int to = edge[i].node;
		if(to == fa) continue;
		dfs2(to, now);
	}
}
namespace LCA{
	const int Log = 20;
	int anc[_N][Log + 5];
	int deep[_N];
	void dfs(int now, int fa, int dp){
		anc[now][0] = fa;
		deep[now] = dp;
		for(_R int i = head[now];i;i = edge[i].nxt){
			int to = edge[i].node;
			if(to == fa) continue;
			dfs(to, now, dp + 1);
		}
	}
	void work()
	{
		dfs(root, root, 1);
		for(_R int j = 1;j <= Log;j++){
			for(_R int i = 1;i <= n;i++){
				anc[i][j] = anc[anc[i][j - 1]][j - 1];
			}
		}
	}
	int query(int x, int y){
		if(deep[x] < deep[y]) swap(x, y);
		int dis = deep[x] - deep[y];
		int now = 0;
		while(dis != 0){
			if(dis & 1) x = anc[x][now];
			now ++;
			dis >>= 1;
		}
		if(x == y) return x;
		for(_R int i = Log;i >= 0;i--){
			if(anc[x][i] == anc[y][i])continue;
			x = anc[x][i];
			y = anc[y][i];
		}
		return anc[x][0];
	}
}

int tar[_N];
int colorLCA[_N];
int ans = 0;
namespace Status1{
	int S[_N];
	int LCnd[_N];
	vector<pair<int, int> >dfn[_N];//DFN Id 
	int tot = 0;
	void dfs_pre(int now, int fa){
		dfn[col[now]].push_back(make_pair(++tot, now));
		for(_R int i = head[now];i;i = edge[i].nxt){
			int to = edge[i].node;
			if(to == fa) continue;
			dfs_pre(to, now);
		}
	}
	int dfs(int now, int fa){
		int v = S[now];
		for(_R int i = head[now];i;i = edge[i].nxt){
			int to = edge[i].node;
			if(to == fa) continue;
			v += dfs(to, now);
		}
		if(v == m) ans = max(ans, MaxUp[now] + 1);
		return v;
	}
	void work(){
		dfs_pre(root, root);
		for(_R int i = 1;i <= m;i++) sort(dfn[i].begin(), dfn[i].end());
		for(_R int i = 1;i <= m;i++){
			S[dfn[i][0].second] ++;
			for(_R int j = 1;j < dfn[i].size();j++){
				S[LCA::query(dfn[i][j - 1].second, dfn[i][j].second)] --;
				S[dfn[i][j].second] ++;
			}
		}
		dfs(root, root);
	}
}

namespace Status2{
	void dfs(int now, int fa){
		for(_R int i = head[now];i;i = edge[i].nxt){
			int to = edge[i].node;
			if(to == fa) continue;
			dfs(to, now);tar[now] |= tar[to];
		}
	}
	void work(){
		dfs(root, root);
		for(_R int i = 1;i <= n;i++){
			if(tar[i] == 0){//反树 包含全集; 
				ans = max(ans, MaxDeep[i] + 2);
			}
		}
	}
}
signed main()
{
	n = read(), m = read();
	int maxx = -1;
	for(_R int i = 1;i <= n;i++) col[i] = read(), maxx = max(maxx, col[i]);
	for(_R int i = 1;i < n;i++){
		int tmpx = read(), tmpy = read();
		add(tmpx, tmpy);
		add(tmpy, tmpx);
	}
	root = 1;
	dfs1(root, root);
	dfs2(root, root);
	LCA::work();
	for(_R int i = 1;i <= n;i++){
		int &cl = colorLCA[col[i]];
		if(cl == 0) cl = i;
		else cl = LCA::query(cl, i);
	}
	for(_R int i = 1;i <= m;i++) tar[colorLCA[i]] = 1;

	Status1::work();
	
	Status2::work();
	
	cout << ans << endl;
	return 0;
 }