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群,一种特殊的代数结构,满足封闭性、结合律、存在幺元和对于每个元素存在逆元的四种性质。

置换群,一种特殊的群,其中的元素描述了一种交换操作。

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CF505E Mr. Kitayuta vs. Bamboos

  • 给定 \(n\) 个数(竹子的高度) \(h_{1 \dots n}\)
  • 你需要进行 \(m\) 轮操作,每轮操作为 \(k\) 次修改,每次修改可以选择一个数 \(h_i\) 修改为 \(\max(h_i - p, 0)\)(砸到地下)。
  • 每轮操作后每个 \(h_i\) 将会被修改为 \(h_i + a_i\)(每天竹子会生长)。
  • 你需要最小化最终 \(h_{1 \dots n}\) 中的最大值。
  • \(n \le 10^5\)\(m \le 5 \times 10^3\)\(k \le 10\)
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给你一棵 \(n\) 个结点的树,每个结点有权值。 \(m\) 次操作。 需要支持以下操作。

  • 将树上与一个节点 \(x\) 距离为 \(1\) 的节点上的权值 \(+1\) 。这里树上两点间的距离定义为从一点出发到另外一点的最短路径上边的条数。
  • 在一个节点 \(x\) 上的权值 \(-v\)
  • 询问树上与一个节点 \(x\) 距离为 \(1\) 的所有节点上的权值的异或和。 对于 \(100\%\) 的数据,满足 \(1\le n \le 5\times 10^5\)\(1\le m \le 5\times 10^5\)\(0\le a_i \le 10^5\)\(1 \le x \le n\)\(opt\in\{1,2,3\}\) 。 保证任意时刻每个节点的权值非负。
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给定一棵 \(n\) 个结点的有根树 \(T\) ,结点从 \(1\) 开始编号,根结点为 \(1\) 号结点,每个结点有一个正整数权值 \(v_i\)

\(x\) 号结点的子树内(包含 \(x\) 自身)的所有结点编号为 \(c_1,c_2,\dots,c_k\) ,定义 \(x\) 的价值为:

\(val(x)=(v_{c_1}+d(c_1,x)) \oplus (v_{c_2}+d(c_2,x)) \oplus \cdots \oplus (v_{c_k}+d(c_k, x))\) 其中 \(d(x,y)\)

表示树上 \(x\) 号结点与 \(y\) 号结点间唯一简单路径所包含的边数, \(d(x,x) = 0\)\(\oplus\) 表示异或运算。

请你求出 \(\sum\limits_{i=1}^n val(i)\) 的结果。

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