「比赛总结」正睿省选失恋测

📅 Last Updated: 2021-03-10
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正睿十连测 Round 8 补题记录。 菜到去世……

陈太阳的石子游戏

有 nn 堆石子，每堆石子被染成了黑色或者白色，第 ii 堆石子有 aia_i 个石子。陈太阳和杨主力轮流操作，杨主力先操作。操作有两种，他们每次可以选择一种进行操作：

  • 从石子数量最少的黑堆中取出任意正整数数量的石头
  • 从任何白堆中取出任意正整数数量的石头

不能操作的玩家将会输掉游戏。现在所有石头堆都是固定的，但尚未着色。 陈太阳贿赂了裁判，使他有机会自己给所有石头涂色。 现在，他想知道有多少种涂色方法使得自己能赢下游戏？ 由于答案可能太大，因此只需要输出模 10000000071 000 000 007 答案即可。

n≤106n\le 10^6

好吧 - -这才明白什么叫做 SG 函数。

Sprague-Grundy(SG)定理

对于一个完整的游戏局面 GG ，有若干个子游戏 G0,G1,G2,⋯G_0, G_1, G_2, \cdots 那么： SG⁡(G)=⨁Gi \operatorname{SG}(G) = \bigoplus\limits{G_i} 对于一个局面 xx ，若其有若干个后继局面，则： SG⁡(x)=mex⁡{SG⁡(y)∣y是x后继} \operatorname{SG}(x) = \operatorname{mex}\{ \operatorname{SG}(y) \mid y \text{是} x \text{后继} \} 特殊地，若一个局面 PP 没有后继局面，则其 SG⁡\operatorname{SG} 值为 00。

首先考虑必胜局面条件是什么：

对一个局面划分子游戏，显然，白色石头和黑色石头可以作为两个子游戏，白色石头构成一个经典的 Nim 游戏。只需要考虑黑色石头的 SG⁡\operatorname{SG} 值即可。

通过手算不难发现黑色石头的 SG⁡\operatorname{SG} 值为： 最小堆中的石头数−(最小堆的数量+[所有黑色石头堆都具有相同的大小])%2 \text{最小堆中的石头数}-(\text{最小堆的数量}+[\text{所有黑色石头堆都具有相同的大小}]) \% 2 先按照石子数量排序。

可以考虑枚举最小堆出现次数和石子数量 xx，石子数量小于 xx 的石子堆一定是白色堆，枚举一个出现次数，可以算出石子数量等于 xx 和小于 xx 的堆的 SG⁡\operatorname{SG} 值 zz，然后考虑后面的石子堆有多少种选法，使得其 SG⁡\operatorname{SG} 值等于 z​z​ 即可。这个问题是 线性基 的经典问题。

陈阳太的集合

陈阳太有个集合 U={1,2,3,⋯,n}U=\{ 1,2,3,⋯,n \} 她打算和杨主力轮流操作。

  • 陈阳太负责一次拆分操作。具体地，陈阳太会将集合 UU 分成至少两个非空集合，它们的并集为 UU 且两两交集均为 ∅\varnothing。
  • 杨主力负责多次合并操作。具体地，杨主力首先收到陈阳太操作后的所有集合，随后每当杨主力手上存有多于一个集合，则必须取出两个集合合二为一，即取出的集合消失并获得它们的并集。

显然最终杨主力将获得集合 UU，同时操作结束。

定义两局操作不同，当且仅当存在集合 SS，在一局操作中出现过且在另一局操作中从未出现。注意，与操作次序无关。

求杨主力和陈阳太一共有多少局不同的操作，对 NTT 质数取模。

n≤106n \le 10^6

只考虑如何合并一些集合，可以倒过来考虑，考虑一开始有一个全集 UU ，如何拆分成若干个子集，显然每一种拆分方式对应一个操作等价类。

考虑递推式：

设 f(n)f(n) 为将元素个数为 nn 的集合拆分成若干个集合的情况。

易知递推式为： f(n)=1+12∑i=1n−1(ni)f(i)f(n−i) f(n) = 1 + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n-1}\dbinom{n}{i}f(i)f(n - i) 其中 +1+1 是考虑到这个集合就在这里停止划分，后面的 12​\frac{1}{2}​ 是因为划分没有什么顺序性。

可以考虑生成函数优化，这个式子后面的项稍微补补就是一个卷积，先定义 f(0)=1f(0)=1，可以把式子写成： f(n)=1+12[(∑i=0n(ni)f(i)(n−i))−2×f(n)] f(n) = 1 + \frac{1}{2}\left[\left(\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}f(i)(n-i)\right) - 2 \times f(n)\right]

2f(n)=1+12∑i=0n(ni)f(i)(n−i) 2f(n) = 1 + \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}f(i)(n-i)

补齐常数项： 2f(n)=1+[n=0]2+12∑i=0n(ni)f(i)(n−i) 2f(n) = 1 + \frac{[n=0]}{2} + \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}f(i)(n-i) 有组合数，考虑指数生成函数： 2f(n)n!=1+[n=0]2n!+12∑i=0nf(i)i!f(n−i)(n−i)! 2\frac{f(n)}{n!} = \frac{1 + \frac{[n=0]}{2}}{n!} + \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{i!}\frac{f(n-i)}{(n-i)!} 设 F(x)=∑i≥0f(i)xii!F(x) = \sum_{i \ge 0} f(i)\frac{x^i}{i!} 2F(x)=ex+12+12F2(x) 2F(x)=e^x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}F^2(x) 解出 F(x)F(x) 根据常数项，得到最终取值为： F(x)=2+3+2ex F(x) = 2 + \sqrt{3+2e^x} 需要一个多项式开方。大佬们对长度为 10610^6 的多项式开方都冲到 500ms500ms 了，我的甚至需要跑 8s8s 左右，就很震撼 /kk。

题目关键是对计数对象的转化，需要根据题目描述的等价类划分方式，确定转化为何种计数对象。

陈太阳的树

陈太阳有一棵 nn 个点的树，每条边 eie_i 上有一个非空字母集合 Si⊂{′a′,′b′,⋯ ,′z′}S_i \subset \{'a','b',\cdots,'z'\}，陈太阳还有一个模板串集合 T={t1,t2,⋯ ,tm}T = \{t_1, t_2, \cdots, t_m\}

杨主力给了陈太阳 qq 次询问，每次询问给定一条从 uu 到 vv 的有向树链，问有多少种在树边上选字母的方案，使得将所有树链上的字母按照从 uu 到 vv 的顺序写出来之后形成的字符串包含模板串集合中至少一个模板串。

杨主力不想让答案数字太大，于是陈太阳只需要告诉杨主力对 998244353 取模的结果就好了。

输入第一行两个正整数 n,m,qn,m,q，分别表示树的大小，模板串集合的大小以及询问的个数。

接下来 n−1n-1 行，每行两个正整数 u,v(1≤u<v≤n)u,v(1 \le u < v \le n) 以及一个字符串 ss，表示 uu 点到 vv 点之间有一条边，边上的非空字母集合由 ss 中的所有字母构成。保证 ss 只包含小写字母且不包含重复的字符

接下来 mm 行，每行一个字符串，表示一个模板串。保证所有模板串的长度之和不超过 40

接下来 qq 行，每行两个正整数 u,v(1≤u,v≤n,u≠v)u,v(1 \le u,v \le n, u\neq v)，表示一次询问。

1≤n≤2500,1≤q≤5000,1≤m≤40,∑∣ti∣≤401\le n \le 2500, 1\le q \le 5000, 1\le m \le 40, \sum|t_i|\le 40

多模板匹配问题，显然需要 AC 自动机，显然可以在 AC 自动机上对路径 dp。

一个 AC 自动机的技巧：如果只是想判断 AC 自动机中是否存在一个模板串可以在文本串中完全匹配，可以考虑强制将 AC 自动机中每一个模板串结束字符对应结点的出边全都连向自己。最后走完文本串后一定会停留在一个模板串结尾的对应结点。

但是这里的文本串不确定，就可以考虑在 AC 自动机上 dp。

设 dp[n][u]dp[n][u] 表示考虑了路径的前 nn 个结点，到达结点 uu 的路径个数。

如果每次暴力 dp 就能够得到 O(qnt3)\mathcal{O}(qnt^3) 的做法。

考虑到每个边的转移其实是相似的，按照动态 dp 的套路可以把每一条树边的贡献理解为一种线性变换？考虑使用矩阵乘法表示转移，每一条树边就对应一个矩阵，可以倍增预处理就能够做到单次询问 O(t2log⁡n)\mathcal{O}(t^2\log n) 的复杂度。

可以考虑树剖然后线段树维护矩阵乘积。

还可以点分之后预处理每个点到其祖先路径上的矩阵乘积，然后点分树上合并矩阵乘法。

还可以点分之后离线处理每个询问。

能过几个就不得而知了

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    pdftitle={「比赛总结」正睿省选失恋测},
    pdfauthor={Jiayi Su (ShuYuMo)},
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  \title{「比赛总结」正睿省选失恋测}
  \author{Jiayi Su (ShuYuMo)}
  \date{2021-03-10 07:43:18}
  
  \begin{document}
  \maketitle
  
  \setstretch{1.3}
  正睿十连测 Round 8 补题记录。 菜到去世……
  
  \subsection{陈太阳的石子游戏}\label{ux9648ux592aux9633ux7684ux77f3ux5b50ux6e38ux620f}
  
  有 \(n\) 堆石子，每堆石子被染成了黑色或者白色，第 \(i\) 堆石子有 \(a_i\)
  个石子。陈太阳和杨主力轮流操作，杨主力先操作。操作有两种，他们每次可以选择一种进行操作：
  
  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    从石子数量最少的黑堆中取出任意正整数数量的石头
  \item
    从任何白堆中取出任意正整数数量的石头
  \end{itemize}
  
  不能操作的玩家将会输掉游戏。现在所有石头堆都是固定的，但尚未着色。
  陈太阳贿赂了裁判，使他有机会自己给所有石头涂色。
  现在，他想知道有多少种涂色方法使得自己能赢下游戏？
  由于答案可能太大，因此只需要输出模 \(1 000 000 007\) 答案即可。
  
  \(n\le 10^6\)
  
  好吧 - -这才明白什么叫做 \texttt{SG} 函数。
  
  \subsubsection{Sprague-Grundy(SG)定理}\label{sprague-grundysgux5b9aux7406}
  
  对于一个完整的游戏局面 \(G\) ，有若干个子游戏 \(G_0, G_1, G_2, \cdots\)
  那么： \[
  \operatorname{SG}(G) = \bigoplus\limits{G_i}
  \] 对于一个局面 \(x\) ，若其有若干个后继局面，则： \[
  \operatorname{SG}(x) = \operatorname{mex}\{ \operatorname{SG}(y) \mid y \text{是} x \text{后继} \}
  \] 特殊地，若一个局面 \(P\) 没有后继局面，则其 \(\operatorname{SG}\)
  值为 \(0\)。
  
  首先考虑必胜局面条件是什么：
  
  对一个局面划分子游戏，显然，白色石头和黑色石头可以作为两个子游戏，白色石头构成一个经典的
  \texttt{Nim} 游戏。只需要考虑黑色石头的 \(\operatorname{SG}\) 值即可。
  
  通过手算不难发现黑色石头的 \(\operatorname{SG}\) 值为： \[
  \text{最小堆中的石头数}-(\text{最小堆的数量}+[\text{所有黑色石头堆都具有相同的大小}]) \% 2
  \] 先按照石子数量排序。
  
  可以考虑枚举最小堆出现次数和石子数量 \(x\)，石子数量小于 \(x\)
  的石子堆一定是白色堆，枚举一个出现次数，可以算出石子数量等于 \(x\)
  和小于 \(x\) 的堆的 \(\operatorname{SG}\) 值
  \(z\)，然后考虑后面的石子堆有多少种选法，使得其 \(\operatorname{SG}\)
  值等于 \(z​\) 即可。这个问题是
  \href{https://shuyumo2003.github.io/\%E3\%80\%8C\%E7\%90\%90\%E8\%AE\%B0\%E3\%80\%8D\%E8\%B4\%B0\%E6\%9C\%88-\%E5\%8F\%81\%E6\%9C\%88-\%E7\%90\%90\%E8\%AE\%B0/\#\%E7\%BA\%BF\%E6\%80\%A7\%E5\%9F\%BA\%E7\%90\%90\%E8\%AE\%B0}{线性基}
  的经典问题。
  
  \subsection{陈阳太的集合}\label{ux9648ux9633ux592aux7684ux96c6ux5408}
  
  陈阳太有个集合 \(U=\{ 1,2,3,⋯,n \}\) 她打算和杨主力轮流操作。
  
  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    陈阳太负责\textbf{一次拆分操作}。具体地，陈阳太会将集合 \(U\)
    分成\textbf{至少两个非空集合}，它们的并集为 \(U\) 且两两交集均为
    \(\varnothing\)。
  \item
    杨主力负责\textbf{多次合并操作}。具体地，杨主力首先收到陈阳太操作后的所有集合，随后每当杨主力手上存有\textbf{多于一个集合}，则必须取出两个集合\textbf{合二为一}，即取出的集合消失并获得它们的并集。
  \end{itemize}
  
  显然最终杨主力将获得集合 \(U\)，同时操作结束。
  
  定义两局操作不同，当且仅当存在集合
  \(S\)，在一局操作中出现过且在另一局操作中从未出现。\textbf{注意，与操作次序无关。}
  
  求杨主力和陈阳太一共有多少局不同的操作，对 \texttt{NTT} 质数取模。
  
  \(n \le 10^6\)
  
  只考虑如何合并一些集合，可以倒过来考虑，考虑一开始有一个全集 \(U\)
  ，如何拆分成若干个子集，显然每一种拆分方式对应一个操作等价类。
  
  考虑递推式：
  
  设 \(f(n)\) 为将元素个数为 \(n\) 的集合拆分成若干个集合的情况。
  
  易知递推式为： \[
  f(n) = 1 + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n-1}\dbinom{n}{i}f(i)f(n - i)
  \] 其中 \(+1\) 是考虑到这个集合就在这里停止划分，后面的 \(\frac{1}{2}​\)
  是因为划分没有什么顺序性。
  
  可以考虑生成函数优化，这个式子后面的项稍微补补就是一个卷积，先定义
  \(f(0)=1\)，可以把式子写成： \[
  f(n) = 1 + \frac{1}{2}\left[\left(\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}f(i)(n-i)\right) - 2 \times f(n)\right]
  \]
  
  \[
  2f(n) = 1 + \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}f(i)(n-i)
  \]
  
  补齐常数项： \[
  2f(n) = 1 + \frac{[n=0]}{2} + \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}f(i)(n-i)
  \] 有组合数，考虑指数生成函数： \[
  2\frac{f(n)}{n!} = \frac{1 + \frac{[n=0]}{2}}{n!} + \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{i!}\frac{f(n-i)}{(n-i)!}
  \] 设 \(F(x) = \sum_{i \ge 0} f(i)\frac{x^i}{i!}\) \[
  2F(x)=e^x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}F^2(x)
  \] 解出 \(F(x)\) 根据常数项，得到最终取值为： \[
  F(x) = 2 + \sqrt{3+2e^x}
  \] 需要一个多项式开方。大佬们对长度为 \(10^6\) 的多项式开方都冲到
  \(500ms\) 了，我的甚至需要跑 \(8s\) 左右，就很震撼 /kk。
  
  题目关键是对计数对象的转化，需要根据题目描述的等价类划分方式，确定转化为何种计数对象。
  
  \subsection{陈太阳的树}\label{ux9648ux592aux9633ux7684ux6811}
  
  陈太阳有一棵 \(n\) 个点的树，每条边 \(e_i\) 上有一个非空字母集合
  \(S_i \subset \{'a','b',\cdots,'z'\}\)，陈太阳还有一个模板串集合
  \(T = \{t_1, t_2, \cdots, t_m\}\)
  
  杨主力给了陈太阳 \(q\) 次询问，每次询问给定一条从 \(u\) 到 \(v\)
  的有向树链，问有多少种在树边上选字母的方案，使得将所有树链上的字母按照从
  \(u\) 到 \(v\)
  的顺序写出来之后形成的字符串包含模板串集合中至少一个模板串。
  
  杨主力不想让答案数字太大，于是陈太阳只需要告诉杨主力对 998244353
  取模的结果就好了。
  
  输入第一行两个正整数
  \(n,m,q\)，分别表示树的大小，模板串集合的大小以及询问的个数。
  
  接下来 \(n-1\) 行，每行两个正整数 \(u,v(1 \le u < v \le n)\)
  以及一个字符串 \(s\)，表示 \(u\) 点到 \(v\)
  点之间有一条边，边上的非空字母集合由 \(s\) 中的所有字母构成。保证 \(s\)
  只包含小写字母且不包含重复的字符
  
  接下来 \(m\)
  行，每行一个字符串，表示一个模板串。保证所有模板串的长度之和不超过 40
  
  接下来 \(q\) 行，每行两个正整数
  \(u,v(1 \le u,v \le n, u\neq v)\)，表示一次询问。
  
  \(1\le n \le 2500, 1\le q \le 5000, 1\le m \le 40, \sum|t_i|\le 40\)
  
  多模板匹配问题，显然需要 AC 自动机，显然可以在 AC 自动机上对路径 dp。
  
  一个 AC 自动机的技巧：如果只是想判断 AC
  自动机中是否存在一个模板串可以在文本串中完全匹配，可以考虑强制将 AC
  自动机中每一个模板串结束字符对应结点的出边全都连向自己。最后走完文本串后一定会停留在一个模板串结尾的对应结点。
  
  但是这里的文本串不确定，就可以考虑在 AC 自动机上 dp。
  
  设 \(dp[n][u]\) 表示考虑了路径的前 \(n\) 个结点，到达结点 \(u\)
  的路径个数。
  
  如果每次暴力 dp 就能够得到 \(\mathcal{O}(qnt^3)\) 的做法。
  
  考虑到每个边的转移其实是相似的，按照动态 dp
  的套路可以把每一条树边的贡献理解为一种线性变换？考虑使用矩阵乘法表示转移，每一条树边就对应一个矩阵，可以倍增预处理就能够做到单次询问
  \(\mathcal{O}(t^2\log n)\) 的复杂度。
  
  可以考虑树剖然后线段树维护矩阵乘积。
  
  还可以点分之后预处理每个点到其祖先路径上的矩阵乘积，然后点分树上合并矩阵乘法。
  
  还可以点分之后离线处理每个询问。
  
  能过几个就不得而知了
  
  \end{document}
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  *geometry* detected driver: xetex
  (.../mt-LatinModernRoman.cfg)
  
  Package hyperref Warning: Rerun to get /PageLabels entry.
  
  (.../omllmm.fd)
  (.../umsa.fd)
  (.../mt-msa.cfg)
  (.../umsb.fd)
  (.../mt-msb.cfg)
  
  LaTeX Font Warning: Font shape `TU/ARPLUKaiCN(0)/b/n' undefined
  (Font)              using `TU/ARPLUKaiCN(0)/m/n' instead on input line 78.
  
  
  Package xeCJK Warning: Unknown CJK family `\CJKttdefault' is being ignored.
  (xeCJK)                
  (xeCJK)                Try to use `\setCJKmonofont[<...>]{<...>}' to define
  (xeCJK)                it.
  
  [1] [2] [3] (.../input.aux)
  
  LaTeX Font Warning: Some font shapes were not available, defaults substituted.
  
  
  LaTeX Warning: Label(s) may have changed. Rerun to get cross-references right.
  
   )
  Output written on .../input.pdf (3 pages).
  Transcript written on .../input.log.
[INFO] [makePDF] Rerun needed
  Package hyperref Warning: Rerun to get /PageLabels entry.
  LaTeX Warning: Label(s) may have changed. Rerun to get cross-references right.
[INFO] [makePDF] LaTeX run number 2
[INFO] [makePDF] LaTeX output
  This is XeTeX, Version 3.141592653-2.6-0.999995 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=xelatex)
   restricted \write18 enabled.
  entering extended mode
  (.../input.tex
  LaTeX2e <2023-11-01> patch level 1
  L3 programming layer <2024-01-22>
  (.../article.cls
  Document Class: article 2023/05/17 v1.4n Standard LaTeX document class
  (.../[system]
  (.../xcolor.sty
  (.../color.cfg)
  (.../xetex.def)
  (.../[system]
  (.../geometry.sty
  (.../keyval.sty)
  (.../ifvtex.sty
  (.../iftex.sty)))
  (.../amsmath.sty
  For additional information on amsmath, use the `?' option.
  (.../amstext.sty
  (.../amsgen.sty))
  (.../amsbsy.sty)
  (.../amsopn.sty))
  (.../amssymb.sty
  (.../amsfonts.sty))
  (.../unicode-math.sty
  (.../expl3.sty
  (.../l3backend-xetex.def))
  (.../unicode-math-xetex.sty
  (.../xparse.sty)
  (.../l3keys2e.sty)
  (.../fontspec.sty
  (.../fontspec-xetex.sty
  (.../fontenc.sty)
  (.../fontspec.cfg)))
  (.../fix-cm.sty
  (.../ts1enc.def))
  (.../unicode-math-table.tex)))
  (.../lmodern.sty)
  (.../xeCJK.sty
  (.../ctexhook.sty)
  (.../xtemplate.sty)
  (.../xeCJK.cfg))
  (.../upquote.sty
  (.../textcomp.sty))
  (.../microtype.sty
  (.../etoolbox.sty)
  (.../microtype-xetex.def)
  (.../microtype.cfg))
  (.../setspace.sty)
  (.../parskip.sty
  (.../kvoptions.sty
  (.../ltxcmds.sty)
  (.../kvsetkeys.sty)))
  (.../bookmark.sty
  (.../hyperref.sty
  (.../kvdefinekeys.sty)
  (.../pdfescape.sty
  (.../pdftexcmds.sty
  (.../infwarerr.sty)))
  (.../hycolor.sty)
  (.../auxhook.sty)
  (.../nameref.sty
  (.../refcount.sty)
  (.../gettitlestring.sty))
  (.../pd1enc.def)
  (.../intcalc.sty)
  (.../puenc.def)
  (.../url.sty)
  (.../bitset.sty
  (.../bigintcalc.sty))
  (.../atbegshi-ltx.sty))
  (.../hxetex.def
  (.../stringenc.sty)
  (.../rerunfilecheck.sty
  (.../atveryend-ltx.sty)
  (.../uniquecounter.sty)))
  (.../bkm-dvipdfm.def))
  (.../xurl.sty)
  (.../input.aux)
  *geometry* driver: auto-detecting
  *geometry* detected driver: xetex
  (.../mt-LatinModernRoman.cfg)
  (.../omllmm.fd)
  (.../umsa.fd)
  (.../mt-msa.cfg)
  (.../umsb.fd)
  (.../mt-msb.cfg)
  
  LaTeX Font Warning: Font shape `TU/ARPLUKaiCN(0)/b/n' undefined
  (Font)              using `TU/ARPLUKaiCN(0)/m/n' instead on input line 78.
  
  
  Package xeCJK Warning: Unknown CJK family `\CJKttdefault' is being ignored.
  (xeCJK)                
  (xeCJK)                Try to use `\setCJKmonofont[<...>]{<...>}' to define
  (xeCJK)                it.
  
  [1] [2] [3] (.../input.aux)
  
  LaTeX Font Warning: Some font shapes were not available, defaults substituted.
  
   )
  Output written on .../input.pdf (3 pages).
  Transcript written on .../input.log.